La función cúbica es una función polinómica de grado 3. En su forma más simple:
Dominio: \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \) · Imagen: \( \text{Im}(f) = \mathbb{R} \)
A diferencia de la función cuadrática (parábola), la cúbica no tiene mínimo ni máximo — va de \( -\infty \) a \( +\infty \) sin dar vuelta. Su característica visual es la "S" suave que forma alrededor del punto de inflexión.
Curva cúbica básica \( y = x^3 \) — forma de "S"
Elvira
La función cúbica pertenece a las funciones polinómicas de grado impar. Como el grado es impar, los extremos de la curva van en sentidos opuestos: uno hacia \( +\infty \) y el otro hacia \( -\infty \). Eso la diferencia de las parábolas.
Efecto del coeficiente \( a \)
Creciente en ℝ
Decreciente en ℝ
Punto de inflexión y desplazamientos
El punto de inflexión \( (h, k) \) es el centro de simetría de la curva
Gema
Tip rápido: \( h \) y \( k \) son las coordenadas del punto de inflexión, igual que \( h \) y \( k \) eran el vértice en la función cuadrática. Es la misma lógica, el punto de inflexión en la cúbica cumple el mismo rol que el vértice en la parábola. No te olvides que el \( h \) es siempre opuesto al que ves en la formula de la función.
Siempre \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \) e \( \text{Im}(f) = \mathbb{R} \). No hace falta calcularlo, es directo.
De la forma \( a(x-h)^3 + k \) extraer \( a \), \( h \) y \( k \). Atención al signo: \( (x+1)^3 \Rightarrow h = -1 \).
Es el punto \( (h,\, k) \). Marcarlo en el gráfico con un punto diferenciado (es el centro de la "S").
Si \( a > 0 \): crece en \( (-\infty, +\infty) \), decrece en \( \emptyset \). Si \( a < 0 \): decrece en \( (-\infty, +\infty) \), crece en \( \emptyset \).
Resolver \( f(x) = 0 \): despejar \( (x-h)^3 = -k/a \), aplicar raíz cúbica. La cúbica siempre tiene exactamente una raíz real.
Calcular \( f(0) \): reemplazar \( x = 0 \) en la fórmula. Esto da el punto donde la curva cruza el eje \( y \).
Elegir un punto extra cerca del P.I. para trazar mejor la curva. Conectar los puntos con la forma "S" característica.
Ejemplo 1
\( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \) · \( \text{Im}(f) = \mathbb{R} \)
\( a = -1 \)
\( h = -1 \)
\( k = -8 \)
\( \text{P.I.} = (h,\, k) = (-1,\, -8) \)
Como \( a = -1 < 0 \): Decrece en \( (-\infty, +\infty) \) · Crece en \( \emptyset \)
$$\begin{aligned} 0 &= -(x+1)^3 - 8 \\[4pt] 8 &= -(x+1)^3 \\[4pt] -8 &= (x+1)^3 \\[4pt] \sqrt[3]{-8} &= x + 1 \\[4pt] -2 - 1 &= x \\[4pt] x &= -3 \end{aligned}$$
$$f(0) = -(0+1)^3 - 8 = -(1)^3 - 8 = -1 - 8 = -9$$ Punto: \( (0,\, -9) \)
\( C^+ = (-\infty,\, -3) \) · \( C^- = (-3,\, +\infty) \)
\( f(x) = -(x+1)^3 - 8 \): decrece en \( \mathbb{R} \), P.I. en \( (-1,\,-8) \)
Elvira
Atención con \( h \): en \( f(x) = -(x+1)^3 - 8 \) la expresión dentro del cubo es \( (x+1) \), que equivale a \( (x - (-1)) \). Por eso \( h = -1 \), no \( h = 1 \). ¡El signo se invierte!
Ejemplo 2
\( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \) · \( \text{Im}(f) = \mathbb{R} \)
\( a = 1 \)
\( h = 1 \)
\( k = 1 \)
\( \text{P.I.} = (1,\, 1) \)
Como \( a = 1 > 0 \): Crece en \( (-\infty, +\infty) \) · Decrece en \( \emptyset \)
$$\begin{aligned} 0 &= (x-1)^3 + 1 \\[4pt] -1 &= (x-1)^3 \\[4pt] \sqrt[3]{-1} &= x - 1 \\[4pt] -1 + 1 &= x \\[4pt] x &= 0 \end{aligned}$$
\( f(0) = (0-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0 \) El origen es a la vez raíz y ordenada al origen: punto \( (0,\, 0) \)
Para mejorar el gráfico, tomamos \( x = 2 \): $$f(2) = (2-1)^3 + 1 = (1)^3 + 1 = 2 \qquad \text{Punto: }(2,\, 2)$$
\( C^+ = (0,\, +\infty) \) · \( C^- = (-\infty,\, 0) \)
\( f(x) = (x-1)^3 + 1 \): crece en \( \mathbb{R} \), P.I. en \( (1,\,1) \)
Gema
¡Mirá este caso especial! En el Ejemplo 2, la raíz y la ordenada al origen coinciden en \( (0,\, 0) \). Eso pasa cuando la raíz es exactamente \( x = 0 \). Es algo a tener en cuenta al graficar: no hay que marcar ese punto dos veces.
Confundir el signo de \( h \)
En \( (x+1)^3 \), el punto de inflexión tiene \( h = -1 \), no \( h = +1 \). La forma general es \( (x - h)^3 \), así que si aparece \( (x+1) \), esto equivale a \( (x - (-1)) \).
Error al aplicar \( \sqrt[3]{\phantom{x}} \)
Al despejar la raíz cúbica, recordar que \( \sqrt[3]{-8} = -2 \) (la raíz cúbica de un número negativo es negativa). Esto es diferente a la raíz cuadrada, que no acepta negativos.
Creer que la función puede decrecer en un intervalo
Una función cúbica con \( a > 0 \) crece en TODO \( \mathbb{R} \). No existe ningún intervalo donde decrezca. El "cambio de concavidad" en el P.I. no es lo mismo que decrecer.
Omitir el punto adicional en el gráfico
Con solo el punto de inflexión y la raíz, el gráfico queda impreciso. Siempre conviene calcular al menos un punto extra para trazar bien la "S".
Elvira
Un error clásico: dibujar la cúbica como una parábola de costado. La curva cúbica tiene una forma de "S", con el punto de inflexión en el centro. Arriba del P.I. la curva es cóncava hacia un lado, abajo hacia el otro.
Identifiqué \( a \), \( h \) y \( k \) correctamente (atención al signo de \( h \))
Marqué el punto de inflexión \( (h,\, k) \) en el gráfico
Calculé la raíz aplicando \( \sqrt[3]{\phantom{x}} \) correctamente
Calculé la ordenada al origen \( f(0) \)
Indiqué si la función crece o decrece en \( (-\infty, +\infty) \)
Dibujé al menos 3 puntos y tracé la curva en forma de "S"
Gema
Antes de ver la respuesta, intentá vos. Los primeros son directos — los últimos tienen una vueltita extra. ¡Animate!
Parámetros: \( a=1 \), \( h=2 \), \( k=3 \) · P.I. = \( (2,3) \)
Crece: \( (-\infty, +\infty) \)
Raíz: \( 0=(x-2)^3+3 \Rightarrow (x-2)^3=-3 \Rightarrow x = 2-\sqrt[3]{3} \approx 0.56 \)
Ord. al origen: \( f(0) = (-2)^3+3 = -8+3 = -5 \) · Punto: \( (0,-5) \)
Parámetros: \( a=-2 \), \( h=1 \), \( k=4 \) · P.I. = \( (1,4) \)
Decrece: \( (-\infty, +\infty) \)
Raíz: \( 0=-2(x-1)^3+4 \Rightarrow (x-1)^3=2 \Rightarrow x=1+\sqrt[3]{2} \approx 2.26 \)
Ord. al origen: \( f(0)=-2(-1)^3+4=2+4=6 \) · Punto: \( (0,6) \)
Parámetros: \( a=-3 \), \( h=0 \), \( k=0 \) · P.I. = \( (0,0) \)
Decrece: \( (-\infty, +\infty) \)
Raíz: \( x=0 \) (única raíz, coincide con P.I. y ord. al origen)
Punto extra: \( f(1)=-3 \), \( f(-1)=3 \) · La curva pasa por \( (1,-3) \) y \( (-1,3) \)
Parámetros: \( a=1 \), \( h=-3 \), \( k=-1 \) · P.I. = \( (-3,-1) \)
Crece: \( (-\infty, +\infty) \)
Raíz: \( 0=(x+3)^3-1 \Rightarrow (x+3)^3=1 \Rightarrow x=-3+1=-2 \)
Ord. al origen: \( f(0)=(3)^3-1=27-1=26 \) · Punto: \( (0,26) \)
Como decrece, \( a = -1 \). El P.I. es \( (h,k)=(-2,5) \), entonces:
Verificación: \( f(-2) = -(0)^3 + 5 = 5 \) ✓